연구실에서 진행되고 있는 최근 연구내용들이 제어 로봇 시스템학회지 6월호의 “연구소 소개 및 학술행사 소식”에 소개될 예정이다. 기사의 기획과 원고 작성까지 맡아주신 손영익 교수님(학회지 편집위원)과, ICROS 학회측의 허락하에 연구실 홈페이지에도 원고를 게시하기로 하였고, 그 내용은 아래와 같다.
서울대학교 CDSL을 가다
손영익 교수 (명지대학교 전기공학과)
제어 및 동역학 연구실(Control and Dynamic Systems Lab, 이하 CDSL)은 서울대학교 전기정보공학부 서진헌 명예교수님과 심형보 교수님의 지도하에 현재 박사 후 과정 1명, 박사과정 12명, 석사 과정 4명의 연구원들로 구성되어 있다. 연구실은 서울대학교 자동화 시스템 공동연구소(Automation and Systems Research Institute, ASRI)에 위치해 있으며, 제어계측 신기술 연구센터(Engineering Research Center for Advanced Control and Instrumentation, ERC-ACI)와 연구시설을 공유하고 있다.
(오른쪽) 이론 연구의 중요성을 강조하는 모토
연구실의 전통은 서울대학교 전기공학과 자동제어연구실(~1995, 지도교수: 양흥석 교수님, 서진헌 교수님)과 전기공학부 최적강인제어연구실(~2006, 지도교수: 서진헌 교수님, 심형보 교수님)로부터 100명 이상의 졸업생들과 함께 그 맥을 이어가고 있으며 현재의 연구실명은 2006년부터 공식적으로 사용되고 있다. 구성원도 많고 연구 분야도 다양하지만 모두 동적시스템(Dynamic system)을 잘 이해하고 제어하기 위한 연구라는 공통점으로 묶을 수 있다. 현 시점에서 주된 연구 방향은 제어공학 전반에 걸친 이론 개발 및 해석에 집중하고 있다. 역사가 오래된 만큼 그동안 연구실에서 다루어온 연구 주제로는 적응/강인/최적제어와 같은 제어기 설계 연구와 추정 이론에 기반한 목표 추적/비선형 관측기 등 다양하지만 본고에서는 최근 연구실 구성원들이 특히 관심을 갖고 진행 중인 제어이론의 최신 문제들을 연구실 구성원들의 도움으로 우선 소개하고자 한다. 소개된 연구내용은 필자의 요청에 따라 CDSL에서 제공한 자료를 큰 수정 없이 옮겼음을 밝혀둔다.
1. 이종 비선형 미분방정식을 연결함으로 발현되는 군집 양상에 대한 연구
제어시스템이 서로 연결되는 양상은 네트워크 발달에 따른 필연적 결과이다. 주목할 점은 이들이 모두 같은 개체가 아니라 서로 다른 개체라는 것이다. 여러 개체 혹은 미분 방정식이 서로 상호 작용하는 중에서도 공통의 군집 행동을 보일 수 있느냐, 그럴 수 있다면 각 개체의 의사 결정 모형이 어떠하기에 단체로 동일한 의사 결정을 하느냐 하는 문제는 반딧불이가 동시에 빛을 내는 현상, 철새가 V자 형태로 날아가는 현상, 전력망에 참여하는 개개의 발전기 주파수가 시간이 지나면서 동일한 주파수로 회전하게 되는 현상 등 다양한 분야에서 관심이 되고 있고, 그러한 현상의 원리를 설명하고자 하는 연구가 물리학과 수학 분야에서도 많이 연구되고 있다. 그런데, 기존에는 동일한 개체, 동일한 미분 방정식에 대한 연구가 주를 이루고 있었다면 최근에는 이종(異種; heterogeneous) 다개체에 대한 연구가 주목 받고 있다. 이는 이론적으로 동일한 개체라 하더라도 현실 세계에서는 조금씩 다를 수밖에 없고, 이러한 다름이 불확실성으로 모델링되기 때문이다.
CDSL에서는 이러한 불확실성에서 야기된 조금씩의 다름뿐만 아니라, 거대 군집에 있어 설계자가 의도적으로 개별 개체에 다른 역할을 부여함으로써 발생하는 이종성(heterogeneity)을 다룰 수 있는 수학적 모델을 개발하여 논문으로 발표하였다(2016년). 이것이 기존의 연구와 다른 점은, 개별 개체의 벡터장이 서로 다름을 벡터장 그 자체의 ‘평균 동역학’으로 설명할 수 있다는 점이다. 평균 동역학이란 새로운 개념을 도입함으로써, 개별 개체를 표현하는 각각의 미분 방정식이 갖지 못하는 새로운 해(emergent behavior)가 서로 다른 동역학의 상호 작용으로 발현될 수 있다는 사실을 설명할 수 있었다. 더욱이 이 이론은 상호연결을 표현하는 그래프의 강도(weight)를 강화하고 개체 수를 늘림으로써 전체 군집 양상이 개별 개체의 변이 및 외부 잡음 등에도 강인함을 증명하였다. 이와 관련하여 연구실에서 진행하고 있는 세부 주제들은 다음과 같다.
- 타 개체와 연결 행렬이 singular한 경우에 대한 연구: 제어시스템간의 연결은 주로 상태변수를 교환하는 모델로 표현된다. 그런데 실제 다개체 시스템의 연결은 상태변수의 모든 성분을 주고받는 경우보다는 상태변수의 일부를 주고받는 경우가 많기 때문에, 이 경우에 관한 평균 동역학 연구가 필요하다. 현재 CDSL에서는 연결 강도가 극단적으로 큰 경우를 산정, singular perturbation 이론을 적용하는 것을 고려하고 있다. 이 접근법으로 문제를 들여다보면 상호간의 강한 연결로부터 사라지는 이종성에 해당하는 부분과 각 개체에서 변하지 않고 남아있는 고유한 동역학에 해당하는 부분을 분리하여 분석할 수 있게 된다.
- smart grid를 위한 분산 최적화(distributed optimization): 이상적인 smart grid의 최적 전력 분배 문제는 각 노드에서 자신이 가진 정보만으로 최적화를 수행하는 문제이며, 최근 관심을 받고 있는 분산 최적화의 한 예로 볼 수 있다. 그런데 CDSL의 접근법을 이용하면 개별 노드에서 각기 다른 gradient descent 알고리듬을 수행하는 경우에도 이들의 평균 동역학이 비분산 최적화 문제의 gradient descent 알고리듬과 같아진다는 것을 발견할 수 있다. 이 내용을 중심으로 문제를 해결하는 연구를 진행하고 있다.
2. 비최소위상 sampled-data 시스템에 대한 강인제어이론 연구
최근 대부분의 제어 시스템들이 네트워크에 연결된 Cyber-Physical Systems (이하 CPS) framework으로 구성됨에 따라 네트워크를 통해 원격으로 제어신호를 주고받는 경향이 산업계를 중심으로 일어나고 있다. 일반적으로 네트워크상의 신호 교환은 연속시간 신호의 sampling을 통해 이산시간에서 진행되므로 제어기 설계 입장에서 물리 시스템은 sampled-data 시스템으로 표현이 가능하다. sampled-data 시스템으로 새로 표현된 플랜트에는 sampling zero가 필연적으로 발생하기 때문에 기존의 외란관측기 이론(Disturbance Observer 설계론, 이하 DOB)을 sampled-data 시스템에 그대로 확장하는 것은 쉽지 않다. 이에 따라 CDSL에서는 sampling의 영향을 고려한 제어시스템 안정성 해석방법을 고려, sampled-data 시스템에 대한 DOB 이론이 연속시간 DOB 이론처럼 잘 정립되기 위한 연구를 진행하고 있다. 특히 기존의 연속시간 DOB 이론에서 다루기 어려웠던 비최소위상(non-minimum phase) 시스템도 sampled-data system 범주에서는 적용가능한 대상이 될지도 모른다는 점을 주안점으로 두고 있다.
- Sampled-data 시스템에 적용 가능한 singular perturbation 이론 개발: CDSL의 DOB 설계론은 singular perturbation 이론을 근간으로 하고 있다. 개발된 singular perturbation 이론은 대부분 연속 시간 시스템을 바탕으로 두고 있으므로, 이를 이산 시간까지 고려하는 sampled-data 시스템에 관한 이론으로 확장하는 연구를 진행하고 있다.
- generalized holder를 활용한 sampling zero 연구: 기존의 DOB 이론은 주어진 시스템의 zero dynamics가 안정하다는 것을 전제로 한다. 때문에 무인 비행체의 pitch 제어 등과 같이 zero dynamics가 안정하지 않은 경우에는 DOB 이론을 적용할 수 없는 한계가 있다. 그런데 sampled-data 시스템의 경우, sampled-data를 연속시간 신호로 변환하는 과정에서 흔히 쓰이는 zero-order holder대신 generalized holder라 불리는 새로운 방식을 사용할 경우 (그림 4 참조), sampled-data 시스템의 zero dynamics를 (혹은, 선형 zero dynamics의 경우, 해당 system matrix의 고유값을) 임의로 바꿀 수 있다는 사실이 알려져 있다. 이 사실을 DOB 이론에 접목하는 연구를 수행하여, 연속시간 DOB 이론의 한계점을 극복하고 불안정한 zero dynamics를 가지는 시스템에까지 DOB 제어법을 확장하는 연구를 진행하고 있다.
3. Passivity 이론에 기반한, 인간이 포함된 cyber-physical & human system 연구
물리 시스템과 컴퓨터가 연결된 대상을 CPS라 한다면, 이제 이렇게 이루어진 개체들이 통신 혹은 다른 물리적 방법으로 서로 연결된 다중 개체(다개체) 시스템을 생각할 수 있다. 특별히, 이들 개체 중 하나로서 ‘사람’이 포함된 다개체 시스템을 CPHS (Cyber-Physical & Human System)이라 부르는데, 궁극에는 사람과 컴퓨터, 로봇이 상호작용하는 세상이 될 것이기 때문에 최근 많은 주목을 받고 있다.
인간의 반응을 수학적으로 모델링해서 이를 CPS 구조에 넣을 때에도 전체 CPS가 안정하게 유지되며 원하는 작업을 수행하도록 하기 위해 최근 passivity 이론이 주목받고 있다. Passivity에 관심을 가지는 이유는 passive한 동역학식을 병렬(parallel) 혹은 궤환(feedback) 연결을 하여도 passivity가 유지된다는 성질이 있기 때문이다. 이에 따라, 만약 입력과 출력 관점에서 본 인간의 반응이 passivity 조건을 만족한다면 인간의 반응을 네트워크에 연결할 때 (즉, 인간이 CPS 구조에 참여할 때) 전체 시스템의 안정도가 유지됨을 쉽게 보일 수 있게 된다. 그런데 인간의 반응이 passive인지를 확인하기 위해, 인간 모델이나 인간의 출력 함수를 찾아서 해석하는 것 자체가 쉽지 않다. 따라서 우회적으로 인간 반응의 입력과 출력 함수를 Bode plot 상에 도시하고, 이로부터 입출력관계를 구하는 방법으로 확인해보면, 불행히도 많은 경우 인간의 반응은 passive가 아니라는 것이 알려져 있다. 그런데 CDSL에서는 passive하지 않은 시스템에 Parallel feedforward compensator(이하 PFC)를 병렬 연결함으로 전체를 passive하게 만들 수 있다는 아이디어(passivation)를 1999년에 논문으로 발표하였고, 2016년에 와서는 PFC 방정식이 안정하다는 조건을 추가함으로써 Passivation의 필요충분조건을 찾았다. 비록 안정도 조건이 추가되어 제한적이기는 하지만 필요충분조건을 얻었고, 이로부터 추가 미분방정식을 구성하는 수학적 알고리듬을 얻었다.
인간 반응의 수학적 모델은 근사식이기 때문에 모델 불확실성이 포함되므로, 근래 CDSL에서는 제한적인 불확실성이 있을 때에도 passivation이 가능하도록 하는 강인성 조건을 찾고, 강인한 PFC를 설계하는 연구를 진행하고 있다. 연구의 한 방향으로 transfer function의 robust zero assignment를 위해 adaptive algorithm을 사용하는 알고리듬을 고려하고 있다.
4. 동형암호 기술을 사용한 제어기 암호화에 관한 연구
연결된 제어시스템에서 반드시 고려되어야 하는 것 중 하나가 보안 및 안전 문제이다. 현대 제어 시스템은 제어연산부, 구동부, 센싱부가 모두 유무선 통신을 통하여 실시간 제어 신호를 주고받는 형태로 구성된다. 이에 따라 통신 신호를 암호화하는 방법으로 제어 시스템을 보호하는 방법은 이미 상용화된 상태이지만, 해커는 전체 시스템 중 가장 취약한 부분을 공략할 것이고, 현 단계에서 제어시스템의 보안 중 가장 취약한 부분은 바로 제어연산이 이루어지는 제어용 컴퓨터이다. 제어용 컴퓨터가 보안이 취약한 대표적인 이유는 암호화된 센서 신호의 암호를 풀어야 제어 신호 계산에 사용할 수 있기 때문이고, 이를 위해 암호화 키(key)를 제어기 안에 저장하고 있어야하기 때문이다.
해당 주제는 센서 단에서 암호화된 신호가 제어기 연산을 거쳐 구동기 단에 도착 할 때까지 암호를 전혀 풀 필요가 없는 기술을 개발하는 것이다 (그림 6 참조). 이 연구 목표를 달성하기 위한 방법으로 CDSL에서는 4세대 암호기술이라 불리는 동형암호(homomorphic encryption)의 적용을 고려하고 있다.
완전동형암호라 불리는 최신의 동형암호기법을 제어기 설계론으로 도입함에 있어 가장 첫 번째로 고려해야할 문제는 “난수 잡음의 증가” 문제이다. 암호화된 연산을 여러 번 수행하면 보안을 위해 고의로 암호문에 넣어둔 난수 잡음의 크기가 커져 일정 횟수 이상으로는 정확한 연산을 기대하기 어렵다는 것이 암호학계에 알려진 문제의 요지이다. 하지만 제어 시스템의 경우 전체 시스템의 Lyapunov 안정도가 보장되기에 제어 루프 내부의 신호는 일정 크기로 유계를 가지는 성질이 있다. 이 성질을 이용하여 암호문 내부 잡음의 크기도 발산하지 않게 되고, 파라미터의 설정에 따라 난수 잡음으로 인한 효과의 크기를 임의로 줄일 수 있음을 확인하였다. 관련 결과로, 2016년에 동형암호 기반 제어기 설계에 Learning with Errors라고 하는 난제 체계가 쓰일 수 있음을 시범적으로 보인 바 있고, 그 뒤로도 제어기의 상태행렬(state matrix)가 정수로 이루어져 있는 경우 암호화된 제어기의 상태변수의 초기화 없이 무한연산을 할 수 있다는 것을 보이는 등 활발히 연구를 진행하고 있다.
5. Hybrid system에 대한 제어 이론 연구
산업용 로봇이나 드론, 자율 주행 자동차 등 거의 모든 물리 시스템은 미분방정식과 차분방정식의 조합으로 기술할 수 있다. 제어시스템을 기존의 미분방정식 또는 차분방정식 중 한가지로만 표현하지 않고, 둘의 조합으로 모델링하는 이유는 점핑 로봇이나 자동차의 충돌과 같은 경우의 상태변수 불연속성을 효과적으로 모델링하기 위함이다.
그런데 기존의 제어 이론은 상태변수의 연속성을 대전제로 연구되어 왔기 때문에, hybrid system으로 나타낸 시스템에 대한 제어 이론이 거의 없다. 따라서 최근 미분다양체나 집합론과 같은 다양한 수학이론을 이용한 해석기법과 제어이론들이 활발히 이루어지고 있다. 다만, 이러한 최신의 연구 결과는 상태변수의 연속성에 기반한 기존 제어 이론 위에 불연속성을 추가로 고려해야하기 때문에 이론 자체가 매우 복잡하다는 단점을 가지고 있다. CDSL에서는 이 문제에 대한 근원적인 생각으로 상태변수의 불연속성이 발생하는 상태공간 상의 영역을 서로 접붙일 수만 있다면 (그림 7 참조), 불연속성을 근본적으로 없앨 수 있을 것으로 생각하였다.
이 생각에서 출발하여 CDSL에서는, hybrid system 자체를 직접적으로 제어하는 대신 좌표변환에 준하는 개념을 도입하여 hybrid system을 연속시간 시스템으로 변환하는 ‘gluing function 이론’을 만들고 있다. 개념적으로 설명하자면 그림 7에서 보는 바와 같이 gluing function이 불연속이 발생하는 상태공간 상의 집합을, 불연속성의 시작 지점과 끝 지점을 접합하여, 같은 차수 혹은 더 큰 차수의 공간상으로 일종의 mapping을 하는 것입니다. 이렇게 되면, 기존의 수많은 제어 이론을 그대로 적용할 수 있는 길이 열리게 된다. 이 아이디어를 출발점으로 삼아, CDSL에서는 다음의 문제들에 관심을 가지고 있다.
- gluing function의 존재의 (필요)충분 조건, gluing function의 설계 방법론: 임의의 경우에 gluing function을 찾는 확실한 일반론이 개발된 것은 아니므로 이에 관련된 연구를 목표중 하나로 삼고 있다.
- gluing function을 통해 얻어진 미분방정식은 불연속성이 제거된 형태이지만, 접합된 지점에서는 일반적으로는 벡터장의 미분가능성이 보장되지 않는다. 기존의 제어 이론이 적용되기 위해서는 미분가능성을 필요로 하는 경우가 많기 때문에 이를 얻기 위한 시스템의 조건을 구하는 연구도 의미가 있다.
- 더 나아가, 접합된 벡터장이 특수한 구조적 특징(예 : Byrnes-Isidori normal form)을 가질 경우, 제어기 설계 등에 매우 유용하다는 사실이 알려져 있다. 따라서, gluing function을 통해 얻어진 벡터장이 이러한 특수한 구조를 갖도록 하는 추가적인 조건에 대한 연구도 고려하고 있다.
위의 5가지 주제들 뿐 아니라 CDSL에서는
- 비선형 관측기 설계이론 (Design of nonlinear observers)
- 외란관측기를 이용한 강인제어기법 (Robust control via disturbance observer)
- 공격에 자율복원적인 연결된 제어시스템 이론 (Attack-resilient networked control systems)
등 많은 연구를 정립해왔고, 지금도 진행하고 있다. 보다 다양한 CDSL의 연구 관련 소식과 기사는 연구실 홈페이지에서 찾을 수 있다.
연구실 홈페이지(https://post.cdsl.kr)에는 본고에서 다루지 않은 새로운 출판 논문 또는 학회발표에 대한 홍보와 자료들뿐만 아니라, 국내외 외부 연구자의 초청 세미나 또는 교류연구에 관한 소식, CDSL Annual Workshop 등 연구실의 연례행사들, 연구실 학생들의 해외 파견, 제어이론 연구 칼럼 등등에 관한 다양한 정보가 꾸준히 업로드 되고 있다. 제어이론에 관심있는 분들이라면 CDSL에 관한 더 많은 정보를 위해 홈페이지방문을 적극 추천 드린다. 처음 방문하는 독자라면 그 구성의 참신함에 놀라움을 참기 어려울 것이다.
필자의 추측으로 1994년 9월 10일 제어·자동화·시스템공학회(현. 제어·로봇·시스템학회)가 출범할 당시 심형보 교수님은 CDSL의 전신인 자동제어연구실 석사과정으로 자기부상시스템의 부상을 위한 연구에 매진하고 있었을 것이다. 자기 부상으로 잉태된 CDSL의 다양한 연구 주제들이 우리나라 제어이론 분야를 더욱 찬란하게 비상시키는 연구 성과로 이어지기를 바라는 마음으로 본고를 맺는다.
감사의 글: 본 자료 작성에 도움을 준 김준수/이진규 박사과정 등 CDSL 재학생과 박경훈/김지수 박사 등 최근 졸업생들 및 심형보 교수님에게 감사를 표한다. 이 기회를 빌어 오랜 시간 산업계와 학계에서 제어분야 발전에 헌신하신 졸업생 여러분 및 양흥석 교수님(2017년 작고)과 서진헌 교수님께도 깊은 존경과 감사의 말씀을 전해 드린다.
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